便签：最近复习线性代数

把 Sheldon Axler 的 Linear Algebra Done Right 复习了一遍。

这个书从比较自然的角度出发，介绍了线性代数的一些基本概念和工具。正像我之前说的，好的理解要求所有的定理显得尽可能的 trivial，而许多书则为读者造成了恰恰相反的印象。作为对线性代数稍有了解（不如说“大半忘光”），重新预习的读者，我读这本书时就觉得大部分定理根本不需要看证明。那些需要读证明的定理则总是能够带来理解上的跃进。这正说明作者的高明。

前两章建立了向量空间的概念。向量由于其特定的不变性而在物理中起重要作用。第三章引入了线性映射，作为向量的对偶，其同样具有特定的不变性，因此这样定义之下的矩阵（而后，行列式）更像是处理起来有意义的实在对象，而不是数字游戏。这一章讲了零空间，此概念最初显得突兀，但又因为其描述了映射的不可逆性而合理。随后花一章来铺垫多项式的概念。第五章从不变子空间的角度定义了本征向量，并且首次在线性映射和复数之间建立起了某种（在本书中）不严谨的类比。从多项式的角度，证明了复向量空间中算子一维不变子空间的存在性，和实向量空间中算子1，2维不变子空间的存在性，为谱定理埋了伏笔。第六章先用普通的方式介绍了内积和基，然后顺手定义了线性映射的伴随，它可类比成复数的共轭。第七章介绍了一些知名的算子性质，例如自伴（即厄密），正规，正（即半正定），等距同构（在复向量空间时即酉的，这玩意的意思是保范数），然后介绍了谱定理。酉算子可以类比于单位圆上的点，在此基础之上自然地引入了极分解和奇异值分解。奇异值分解的这种动机让（技术层面上）非方阵的对角化有了自然的作法。第八章引入了广义本征向量，并且由特征多项式进一步强化了算子和复数的类比。在此基础上，介绍了约当型。第十章补充了一些事关具体计算的行列式和矩阵的规则技巧。