朗道和金兹堡的相变理论

我简单地把这件事说一遍，但是越往后细节越少，部分原因是打公式很累

一个系统的序参量可以用一个场来描述，尽管在更小的尺度上，一定是分立的。这个场写成$m(x)$, $m\in \mathbb{R}^n$, $x\in\mathbb{R}^d$。这种经过coarse-grain的尺度叫mesoscopic，这个尺度的好处是，足够大以至于微观序参量分布的奇性被中心极限定理洗掉了，而宏观上相变带来的奇性又意味着（对m(x)来说）无穷大的关联长度。所以显得恰到好处。

系统的配分函数，从微观的角度来看，仍然是$\text{tr}[e^{-\beta\mathcal{H_{mic}}}]$, 但也可以写成对系统每一点的序参量的每一种状态的积分$\int\mathcal{D}m\mathcal{W}(m)$。其中，权重满足$-\ln\mathcal{W}(m)\equiv\beta\mathcal{H}(m)$。

原则上，这个权重的形式应当是通过bottom-up的方式，从薛定谔方程得到的。然而，一些来自于基本的物理性质的要求就可以把它约束的很好，以至于我们可以直接基于这个约束后的形式，得到一些普遍的规律。

首先，我们可以认为，如果系统两个部分不相连，则某种总体分布的概率，是两部分分别符合这分布的概率之积。因此取了对数之后，就有可加性，故$-\beta\mathcal{H}=\int d^dx\Phi[m, x]$。那么耦合的情况呢？我们可以写$-\beta\mathcal{H}=\int d^dx\Phi[m, \nabla m, \cdots, x]$，并且由于系统的对称性，把只和x有关的项也扔掉，把m的奇次方项也扔掉。那就是$-\beta\mathcal{H}=\int d^dx\Phi[m^2, \cdots, (\nabla m)^2, \cdots]$。

于是我们可以得到 Landau-Ginzburg Hamiltonian: $\beta\mathcal{H}=\beta F_0+\int d^dx\Phi[tm^2+um^4+K/2(\nabla m)^2+\cdots-h\cdot m]$。

一般来说，这个积分非常恶心。但是可以用常用的手段（saddle point approx， 我简称spa）来近似。就是用积分中最大一项的值代替整个积分。对于这件事情的合法性，本文最后会有一些说明。首先，为了求最大值，梯度那项必须是0，m是个常数。所以基本上就是四次方程求极值，也就是热力学里面提到的朗道相变的版本。然后这里面有一些可以看出来的物理上的要求，包括$u>0$, $K>0$, $t=a(T-T_c)+O(T-T_c)^2, a>0$。

从这个简单版本里面也能得到四个临界指数：热容对温度、序参量对温度、响应函数对温度、序参量对刺激。

这儿可以考虑一个概念：自发对称破缺。比如高温时系统只有一个free energy extremum，稳定在一团乱麻上，降温后降低内能的需求压倒了升高熵的需求，系统必须选一个边站：在一些free energy extremum中选一个。如果对称性是离散的，则选了一个之后，基本上不容易翻越势垒跑到另外一个。但如果对称性是连续的，则在这些地方中间跑来跑去并不怎么会被制裁。这种行为叫goldstone模，它有更深刻的含义，我也不懂。比如超流He的序参量$\phi=\bar{\phi}e^{i\theta(x)}$在复平面上，只要保证$\bar{\phi}$找对地方了，$\theta$的变化不怎么费事。此时$\beta\mathcal{H}=\beta\mathcal{H_0}+\int d^dx (K\bar{\phi}/2)(\nabla\theta)^2$，我听说后一项就是超流的奥秘了，但我也不是很懂这些。

一个学过朗道相变的人知道那种铁磁-顺磁相变是没有goldstone模的。容易想到这种连续的local extremum的存在性和维数有关。实际上，Mermin-Wagner定理说明了goldstone模的维数下限就是2。对于这里的这种特殊情况（$\int d^dx (K\bar{\phi}/2)(\nabla\theta)^2$），我们可以通过计算系统的涨落$\left<[\theta(x)-\theta(x')]^2\right>$来证明，这玩意在$d<2$会发散掉，反之则不会。

研究系统的涨落是很有好处的。对于最普遍的情况，研究平衡态附近的涨落：$m=(\bar{m}+\phi_l(x))\hat{e}_1+\phi_{t, \alpha}(x)\hat{e_\alpha}$。算出来这种微扰后对应的概率，（用Fourier变换，变换出来是一个$\exp[-\frac{K(q^2+\xi^{-2})}{2}|\phi(q)|^2]$的连乘的形式，再基于$\phi(q)$往下算，都是常规操作，不过我以前不熟悉，更显得很菜。），并借着这个结果把关联函数$G=\left<(m_\alpha(x)-\bar{m}_\alpha)(m_\beta(x)-\bar{m}_\beta)\right>=\left<\phi_\alpha(x)\phi_\beta(x')\right>$算出来，发现他正比于$e^{-x/\xi}$（这儿也能看出来，$\xi$就是关联长度）。

最后，我们来看一看spa合法性的问题。把上面那涨落带进配分函数（的奇异的部分），做Fourier变换得到$e^{-V(\bar{m}^2t/2+u\bar{m}^4)}$和一堆gauss积分的连乘。求热容，容易知道平衡态部分（指数部分）对应的热容是0和1/8u，而涨落部分要分开看：$d\geq4$的时候，是常数，可以不用管；反之，$C_{fluc}\propto\frac{\xi^{4-d}}{K^2}$， 这时通过比较这项和$1/8u$来判断涨落是否仍可以忽略，这就是Ginzburg判据了。在顺磁-铁磁的情形下，不能忽略；但是对于超导体，尽管其序参量也不到四维，但库珀对比较大，这导致$\xi$也大，所以就可以不考虑这部分涨落。