场论笔记(2)

近两三周的内容,正则量子化与路径积分

Chapter 4

这一章来讨论场的量子化。这种做法叫做正则量子化,这大概是因为这种做法涉及到哈密顿力学里面的运动方程,或者叫“正则方程”的缘故。正则量子化要求,对于一对经典的物理量$(q, p)$,其满足$\{q, p\}_{P B}=1$的话,则将其量子化为算符,使得这些算符满足

$[\hat{q}, \hat{p}]=i \hbar,[\hat{q}, \hat{q}]=[\hat{p}, \hat{p}]=0$。

自由标量场

场的量子化

在经典场论里面,我们有$\phi(x)$, 有广义动量$\Pi(x)=\frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \partial_{0} \phi(x)}$。现在,我们把它们写成算符。这些算符满足海森堡不确定性关系$[\hat{\phi}(\boldsymbol{x}), \hat{\Pi}(\boldsymbol{y})]=i \hbar \delta(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})$。现在,新的Hilbert空间,或者说Fock空间,就是场$\phi$的泛函的空间。波函数就是这个标量场的泛函:$\Psi[\{\phi(\boldsymbol{x})\}] \equiv\langle\{\phi(\boldsymbol{x})\} \mid \Psi\rangle$。我们依然会有$\langle\{\phi\}|\widehat{\Pi}(x)| \Psi\rangle \equiv \frac{\hbar}{i} \frac{\delta}{\delta \phi(x)} \Psi[\{\phi\}]$。

在海森堡绘景($\hat{A}_{H}\left(x_{0}\right)=e^{\frac{i}{h} \hat{H} x_{0}} \hat{A} e^{-\frac{i}{h} \hat{H} x_{0}}$)下,运动方程是$i \hbar \partial_{0} \hat{A}_{H}\left(x_{0}\right)=\left[\hat{A}_{H}\left(x_{0}\right), \widehat{H}\right]$。因此,对眼下的问题(自由标量场),运动方程就是$i \hbar \partial_{0} \hat{\phi}\left(\boldsymbol{x}, x_{0}\right)=\left[\hat{\phi}\left(\boldsymbol{x}, x_{0}\right), \widehat{H}\right], \quad i \hbar \partial_{0} \hat{\Pi}\left(\boldsymbol{x}, x_{0}\right)=\left[\hat{\Pi}\left(\boldsymbol{x}, x_{0}\right), \widehat{H}\right]$。

其中,哈密顿量是$\widehat{H}=\int d^{3} x\left[\frac{1}{2} \widehat{\Pi}^{2}(x)+\frac{1}{2}(\nabla \hat{\phi}(x))^{2}+\frac{1}{2} m^{2} \hat{\phi}^{2}(x)\right]$。代入之,得到

$\partial_{0} \hat{\phi}\left(\boldsymbol{x}, x_{0}\right)=\hat{\Pi}\left(\boldsymbol{x}, x_{0}\right)$
$\partial_{0} \hat{\Pi}\left(\boldsymbol{x}, x_{0}\right)=\nabla^{2} \hat{\phi}\left(\boldsymbol{x}, x_{0}\right)-m^{2} \hat{\phi}\left(\boldsymbol{x}, x_{0}\right)$

1式代入2式,发现这就是KG方程$\left(\partial^{2}+m^{2}\right) \hat{\phi}(x)=0$。这也应当是我们所期待的。

升降算符

解这个方程时,我们利用傅里叶变换,写成

$\phi(\mathbf{x}, t)=\int \frac{d^{3} k}{f(k)}\left[a(\mathbf{k}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}-i \omega t}+b(\mathbf{k}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}+i \omega t}\right]$

其中,$\omega=+\left(\mathbf{k}^{2}+m^{2}\right)^{1 / 2}$。分母的f(k)是为了维持场的洛伦兹协变性。我们之后会选取恰当的函数。括号里的部分么,可以认为第二项代表某种“波函数”里面负能量的部分。出于场的厄密性对系数a、b的要求,以及将指数写成两个4-矢量内积的考虑,我们把上式写成:

$\phi(x)=\int \frac{d^{3} k}{f(k)}\left[a(\mathbf{k}) e^{i k x}+a^{\dagger}(\mathbf{k}) e^{-i k x}\right]$

我们来看看$f$。$d^3k$不是洛伦兹协变的,但是$dw\wedge d^3k$是。我们注意到$d(\frac{d^3k}{2\omega})=\frac{d\omega\wedge d^3k}{k^2+m^2}$满足条件。所以,$f(k)\propto2\omega$完全可以。出于傅里叶变换习惯上的考虑,我们把这部分的体积元记作$\widetilde{d k} \equiv \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3} 2 \omega}$。我们的新写法就是

$\phi(x)=\int \widetilde{d k}\left[a(\mathbf{k}) e^{i k x}+a^{\dagger}(\mathbf{k}) e^{-i k x}\right]$。这些傅里叶系数的对易关系是

$\begin{aligned}\left[a(\mathbf{k}), a\left(\mathbf{k}^{\prime}\right)\right] &=0 \\\left[a^{\dagger}(\mathbf{k}), a^{\dagger}\left(\mathbf{k}^{\prime}\right)\right] &=0 \\\left[a(\mathbf{k}), a^{\dagger}\left(\mathbf{k}^{\prime}\right)\right] &=(2 \pi)^{3} 2 \omega \delta^{3}\left(\mathbf{k}-\mathbf{k}^{\prime}\right) \end{aligned}$

我们首先关心怎样用这个形式表达H。经过一顿操作,可以算得

$H=\frac{1}{2} \int \widetilde{d k} \omega\left(a^{\dagger}(\mathbf{k}) a(\mathbf{k})+a(\mathbf{k}) a^{\dagger}(\mathbf{k})\right)$。

让我们假设有一个态会被$a^\dagger$给砍没了。$a(\boldsymbol{k})|0\rangle=0$。这个态就是系统的基态,又称为真空态。我们可以把H作用在上面得到零点能。我们把对易关系代入H,使得所有的$a$而非$a^\dagger$都直接作用于基态。得到$\widehat{H}=: \widehat{H}:+E_{0}$,其中,$: \widehat{H}:|0\rangle=0$,而$E_{0}=\int d^{3} k \frac{1}{2} \omega(\boldsymbol{k}) \delta(0)$。然而,此delta函数根据定义

$\delta(0)=\lim _{p \rightarrow 0} \delta^{3}(\boldsymbol{p})=\lim _{p \rightarrow 0} \int \frac{d^{3} x}{(2 \pi)^{3}} e^{i \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{x}}=\frac{V}{(2 \pi)^{3}}$

在红外端是发散的,因为空间无穷大。另一方面,积分$\varepsilon_{0}=\int \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3}} \frac{\omega(k)}{2} \equiv \frac{1}{2} \int \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3}} \sqrt{k^{2}+m^{2}}$在紫外端是发散的。这是因为系统即使在一个有限的体积里也有无限的自由度(相当于无穷多个谐振子)。现在,对于这个发散,我们可以把它当做常数,认为零点能对于系统的物理没啥影响。不过,以后我们会遇到一些无穷大,它对系统的物理性质有定性的影响。对于这些情况,我们将用重整化的办法来处理。这里的重整化和统计力学里的重整化是一样的。

占有数表象

从傅里叶变换的角度可以把$\hat{n}(\boldsymbol{k}) \equiv \hat{a}^{\dagger}(\boldsymbol{k}) \hat{a}(\boldsymbol{k})$理解为某个频率上的谐振子的数目。这个量和(减去零点能部分的)哈密顿量对易,因此它的本征向量组是完备的,并且这组本征向量对应的各个激发态就对应不同的粒子数目。从这个角度考虑的希尔伯特空间叫Fock空间。这些本征态记作

$\left.\left|\{n(\boldsymbol{k})\}\rangle=\prod_{\boldsymbol{k}} \mathcal{N}(\boldsymbol{k})\left[\hat{a}^{\dagger}(\boldsymbol{k})\right]^{n(\boldsymbol{k})}\right| 0\right\rangle$,

并有本征值$\hat{n}(\boldsymbol{k})|\{n(\boldsymbol{k})\}\rangle=(2 \pi)^{3} 2 \omega(\boldsymbol{k}) n(\boldsymbol{k}) \mid\{n(\boldsymbol{k})\}\rangle$。这就是所谓的占有数表象。对频率积分得到总的粒子的数目:$\widehat{N} \equiv \int \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3} 2 \omega(k)} \hat{n}(k)$。

一个占有数的本征态的能量是$\widehat{H}|\{n(\boldsymbol{k})\}\rangle=\left[\int d^{3} k n(\boldsymbol{k}) \omega(\boldsymbol{k})+E_{0}\right]|\{n(\boldsymbol{k})\}\rangle$。在零点能之外的激发能是$\varepsilon(\boldsymbol{k})=\int d^{3} k n(\boldsymbol{k}) \omega(\boldsymbol{k})$。另一方面,系统的线动量可以记为$\widehat{\boldsymbol{P}}=\int_{x_{0} \text { fixed }} d^{3} x \widehat{\Pi}\left(\boldsymbol{x}, x_{0}\right) \nabla \hat{\phi}\left(\boldsymbol{x}, x_{0}\right)$,将它在占有数表象下写出来,是$\widehat{\boldsymbol{P}}=\int \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3} 2 \omega(\boldsymbol{k})} \boldsymbol{k} \hat{n}(\boldsymbol{k})$,非常合理。

给基态一个激发,变成$|\boldsymbol{k}\rangle \equiv \hat{a}^{\dagger}(\boldsymbol{k})|0\rangle$,可以用以上的结果算出来这个态的能量是$\omega(\boldsymbol{k})$,动量是$k$。因此它具有色散关系$E=\sqrt{k^{2}+m^{2}}$。这个色散关系定义了一个相对论性的粒子,从这个意义上,我们把粒子看作是场的激发。

对称性

在量子场论中,诺特定理的形式与经典场论类似。我们有一个守恒流,携带一个荷$\widehat{Q}=\int_{x_{0} \text { fixed }} d^{3} x \hat{j}^{0}\left(\boldsymbol{x}, x_{0}\right)$,我们要求$[\widehat{Q}, \widehat{H}]=0$,在这种情况下这个守恒的荷对应一个对称性,或者说,它是一个对称性的生成元:

$\widehat{U}(\alpha)=\exp (i \alpha \widehat{Q})$。

例如,$P^{\mu}=\int_{x_{0}} d^{3} x T^{0 \mu}$守恒,而总动量和H正是对易的。因此,总动量充当了平移变换的生成元,使得$\hat{\phi}\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{a}, x_{0}\right)=e^{i \boldsymbol{a} \cdot \widehat{\boldsymbol{P}}} \hat{\phi}\left(\boldsymbol{x}, x_{0}\right) e^{-i \boldsymbol{a} \cdot \widehat{\boldsymbol{P}}}$。

又例如,有一个全局的内部对称性。考虑一个自由的复标量场,它对于一个全局的相位变化不变。首先,我们的场这回没有必要是厄密的,因此可以写

$\begin{aligned} \hat{\phi}(x) &=\int \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3} 2 \omega(k)}\left(\hat{a}(k) e^{-i k \cdot x}+\hat{b}^{\dagger}(k) e^{i k \cdot x}\right) \\ \hat{\phi}^{\dagger}(x) &=\int \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3} 2 \omega(k)}\left(\hat{b}(k) e^{-i k \cdot x}+\hat{a}^{\dagger}(k) e^{i k \cdot x}\right) \end{aligned}$

其中,有对易关系$\left[\hat{a}(\boldsymbol{k}), \hat{a}^{\dagger}\left(\boldsymbol{k}^{\prime}\right)\right]=\left[\hat{b}(\boldsymbol{k}), \hat{b}^{\dagger}\left(\boldsymbol{k}^{\prime}\right)\right]=(2 \pi)^{3} 2 \omega(\boldsymbol{k}) \delta^{3}\left(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}^{\prime}\right)$。我们将得到场的哈密顿量为$: \widehat{H}:=\int \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3} 2 \omega(k)} \omega(k)\left(\hat{a}^{\dagger}(k) \hat{a}(k)+\hat{b}^{\dagger}(k) \hat{b}(k)\right)$,它包含两种粒子,a粒子和b粒子。场$\phi$生成b粒子,消灭a粒子,场$\phi^\dagger$则正好相反。并且这两种粒子带有相同的能量。因此,可以想象它们是正物质和反物质粒子。对于这种对称性,经典场论中的守恒流是$j_{\mu}=i \phi^{*} \stackrel{\leftrightarrow}{\partial_{\mu}} \phi$,它对应一个荷,在量子场论中是:

$\begin{aligned} \widehat{Q} &=: \int d^{3} x i\left(\hat{\phi}^{\dagger} \partial_{0} \hat{\phi}-\left(\partial_{0} \hat{\phi}^{\dagger}\right) \hat{\phi}\right): \\ &=\int \frac{d^{3} k}{(2 \pi)^{3} 2 \omega(k)}\left(\hat{a}^{\dagger}(k) \hat{a}(k)-\hat{b}^{\dagger}(k) \hat{b}(k)\right) \\ &=\hat{N}_{a}-\hat{N}_{b} \end{aligned}$

这是守恒的。或者说,正反粒子总是成对出现。

在这些关于对称性的例子中,基态总是满足所有对称性的。例如,在自由标量场的例子,基态满足平移不变性,所以$\widehat{\boldsymbol{P}}|0\rangle=0$。一般来说,对称的态是非简并的。但是,有一些时候,基态本身却是简并的。人们管这种情况叫做自发对称性破缺。例如,伊辛模型的基态就是简并的。在带有相互作用的量子场论中,我们将会讨论这类系统。

Chapter 5

路径积分方法。

Intro

传播子

我们最初的动机是考察两点之间的态的相关性:$F\left(q_{f}, t_{f} \mid q_{i}, t_{i}\right)=\left\langle q_{f}, t_{f} \mid q_{i}, t_{i}\right\rangle$。为了简单起见,考虑$\left|q_{i}, t_{i}\right\rangle=|0,0\rangle$, $\left|q_{f}, t_{f}\right\rangle=|q, t\rangle$的情况。于是,得到初态$\lim _{t \rightarrow 0} F(q, t \mid 0,0)=\langle q \mid 0\rangle=\delta(q)$,以及$F$随时间的演化:

$\begin{aligned} i \hbar \frac{\partial F}{\partial t} &=i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\langle q, t \mid 0,0\rangle=i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\left\langle q\left|e^{-i \hat{H} t / \hbar}\right| 0\right\rangle \\ &=\left\langle q\left|\hat{H} e^{-i \hat{H} t / \hbar}\right| 0\right\rangle \\ &=\int d q^{\prime}\left\langle q|\hat{H}| q^{\prime}\right\rangle\left\langle q^{\prime}\left|e^{-i \hat{H} t / h}\right| 0\right\rangle \\ &=\int d q^{\prime}\left\langle q|\hat{H}| q^{\prime}\right\rangle F\left(q^{\prime}, t \mid 0,0\right) \\ &\equiv \hat{H}_{q} F(q, t \mid 0,0)\end{aligned}$

这个演化长得像一个薛定谔方程。这个$F$叫薛定谔传播子。

路径积分

还有另外一种计算传播子的方法,这就是路径积分(对所有可能的路径进行积分,而非沿着某条路径进行积分)。这就是说,利用$|q,t\rangle$的完备性,

$F\left(q_{f}, t_{f} \mid q_{i}, t_{i}\right)=\int d q_{1} \ldots d q_{N}\left\langle q_{f}, t_{f} \mid q_{N}, t_{N}\right\rangle\left\langle q_{N}, t_{N} \mid q_{N-1}, t_{N-1}\right\rangle \times \ldots$
$\times \ldots\left\langle q_{j}, t_{j} \mid q_{j-1}, t_{j-1}\right\rangle \ldots\left\langle q_{1}, t_{1} \mid q_{i}, t_{i}\right\rangle$

当我们取$N\to\infty$的极限的时候,可以取近似

$\left\langle q_{j}, t_{j} \mid q_{j-1}, t_{j-1}\right\rangle=\delta\left(q_{j}-q_{j-1}\right)-i \frac{\Delta t}{h}\left\langle q_{j}|\hat{H}| q_{j-1}\right\rangle+O\left((\Delta t)^{2}\right)$

对于最常见的哈密顿量$\hat{H}=\frac{\hat{p}^{2}}{2 m}+V(\hat{q})$,由于动量的本征函数形如$\langle q \mid p\rangle=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{i p q / h}$,我们可以将上式化为(H的本征值那里,取相邻q的中点只是一个定则):

$\left\langle q_{j}, t_{j} \mid q_{j-1}, t_{j-1}\right\rangle \approx \int \frac{d p_{j}}{2 \pi h} \exp \left[\frac{i}{h}\left(p_{j}\left(q_{j}-q_{j-1}\right)-\Delta t H\left(p_{j}, \frac{q_{j}+q_{j-1}}{2}\right)\right)\right]$

这样,就可以写成

$\begin{aligned}\left\langle q_{f}, t_{f} \mid q_{i}, t_{i}\right\rangle=& \lim _{N \rightarrow \infty} \int \prod_{j=1}^{N} d q_{j} \int_{-\infty}^{\infty} \prod_{j=1}^{N+1} \frac{d p_{j}}{2 \pi \hbar} \\ & \exp \left\{\frac{i}{h} \sum_{j=1}^{N+1}\left[p_{j}\left(q_{j}-q_{j-1}\right)-\Delta t H\left(p_{j}, \frac{q_{j}+q_{j-1}}{2}\right)\right]\right\} \end{aligned}$

我们记$\mathcal{D} p \mathcal{D} q \equiv \lim _{N \rightarrow \infty} \prod_{j=1}^{N} \frac{d p_{j} d q_{j}}{2 \pi h}$,从而写出

$\left\langle q_{f}, t_{f} \mid q_{i}, t_{i}\right\rangle=\int \mathcal{D} p \mathcal{D} q e^{\frac{i}{\hbar}} \int_{t_{i}}^{t_{f}} d t[p \dot{q}-H(p, q)]=\int \mathcal{D} p \mathcal{D} q e^{\frac{i}{\hbar} S(q, p)}$。

或者,把动量积掉,得到费曼的路径积分形式:

$\left\langle q_{f}, t_{f} \mid q_{i}, t_{i}\right\rangle=\int \mathcal{D} q e^{\frac{i}{\hbar}} \int_{t_{i}}^{t_{f}} d t L(q, \dot{q})$

例子——如何实际地计算路径积分

考虑一个一维的拉氏量,$L(q, \dot{q})=\frac{1}{2} m \dot{q}^{2}-V(q)$。假设q有一个“经典”部分,也就是经典力学算出来的,满足运动方程的$q_{c}(t)$,又假设系统的量子涨落为$\xi(t)$。并且,认为路径的起点和终点的速度和动量确定。

可以写出作用量,是:

$S(q, \dot{q})=S\left(q_{c}, \dot{q}_{c}\right)+S_{\mathrm{eff}}\left(\xi, \dot{\xi} ; q_{c}\right)$
$+\int_{t_{i}}^{t_{f}} d t \frac{d}{d t}\left[m \xi \frac{d q_{c}}{d t}\right]+\int_{t_{i}}^{t_{f}} d t\left(m \frac{d^{2} q_{c}}{d t^{2}}+\left.\frac{\partial V}{\partial q}\right|_{q_{c}}\right) \xi(t)$

(得到此式的过程中用了$m\ddot{q}=-\partial_qV(q)$。)

Remark:1)后两项可以看出来是0;2)这里面涉及涨落$\xi$的作用量是

$S_{\mathrm{eff}}(\xi, \dot{\xi})=\int_{t_{i}}^{t_{f}} d t \frac{1}{2} m \dot{\xi}^{2}-\left.\frac{1}{2} \int_{t_{i}}^{t_{f}} d t \int_{t_{i}}^{t_{f}} d t^{\prime} \frac{\partial^{2} V}{\partial q(t) \partial q\left(t^{\prime}\right)}\right|_{q_{c}} \xi(t) \xi\left(t^{\prime}\right)-O\left(\xi^{3}\right)$。

  • 截断到$\xi^2$是不是一个好主意?我们来看一下经典极限下这个结果会变成什么样。由于h在分母,我们rescale一下,$\xi=\sqrt{\hbar} \tilde{\xi}$,得到

    $\frac{S}{\hbar}=\frac{1}{\hbar} S^{(0)}\left(q_{c}\right)+S^{(2)}\left(\tilde{\xi} ; q_{c}\right)+\sum_{n=3}^{\infty} \hbar^{n / 2} S^{(n)}\left(\tilde{\xi} ; q_{c}\right)$

    所以是可以的。更高次的项都愉快地随着经典极限而消失了。

利用起点和终点确定的条件,可以写

$S_{\mathrm{eff}}(\tilde{\xi}, \dot{\xi})=\frac{1}{2} \int_{t_{i}}^{t_{f}} d t \tilde{\xi}(t)\left[-m \frac{d^{2}}{d t^{2}}-V^{\prime \prime}\left(q_{c}(t)\right)\right] \tilde{\xi}(t)$

注意到,其中$\hat{A}=-m \frac{d^{2}}{d t^{2}}-V^{\prime \prime}\left(q_{c}(t)\right)$长得像一个薛定谔算符。我们假设他有完备的本征函数组,并利用这一组函数把涨落$\xi$展开为$\tilde{\xi}(t)=\sum_{n} c_{n} \psi_{n}(t)$。这个时候的作用量变为

$S^{(2)}=\frac{1}{2} \int_{t_{i}}^{t_{f}} d t \tilde{\xi}(t) \hat{A} \tilde{\xi}(t)=\frac{1}{2} \sum_{n} A_{n} c_{n}^{2}$

而对路径的(泛函)微分可以转换为$\mathcal{D} \tilde{\xi}=\mathcal{N} \prod_{n} \frac{d c_{n}}{\sqrt{2 \pi}}$。这里用了一个归一化常数$\mathcal{N}$。现在对所有量子涨落/可行路径积分已经被转化为一个高斯积分,我们把对$S^{(2)}$这一部分的路径积分记作$\mathcal{Z}^{(2)}$,得到$\mathcal{Z}^{(2)}=\mathcal{N} \prod_{n} A_{n}^{-1 / 2} \equiv \mathcal{N}(\operatorname{Det} \hat{A})^{-1 / 2}$,所以我们的任务就是计算这个算符A的行列式。这仍然是很难的。


我们可以通过延拓到虚时间(仍然换元$t \rightarrow-i \tau$,这时我们其实正在默认t是虚的)来解决这个问题。在这个情况下,重新观察我们的整个问题,

$\left\langle q_{f}\left|e^{-\frac{i}{h} H\left(t_{f}-t_{i}\right)}\right| q_{i}\right\rangle \rightarrow\left\langle q_{f}\left|e^{-\frac{1}{\hbar} H\left(\tau_{f}-\tau_{i}\right)}\right| q_{i}\right\rangle$

再规定$\tau_{i}=0 \quad \tau_{f}=\beta h$,因为这时通过把温度(的倒数)看成虚时间,含时演化的相位可以类比成统计力学里面的密度矩阵$\hat{\rho}=e^{-\beta H}$。这时,根据上述过程,我们所要求的这一部分路径积分事实上转化为配分函数

$\begin{aligned} \mathcal{Z} &=\int \mathcal{D} q[\tau] \exp \left\{-\frac{1}{\hbar} \int_{0}^{\beta \hbar} d \tau\left[\frac{1}{2} m\left(\frac{\partial q}{\partial \tau}\right)^{2}+V(q)\right]\right\} \\ & \equiv \int \mathcal{D} q[\tau] \exp \left\{-\int_{0}^{\beta} d \tau\left[\frac{m}{2 \hbar^{2}}\left(\frac{\partial q}{\partial \tau}\right)^{2}+V(q)\right]\right\} \end{aligned}$。

并且,(更重要的是)要求初态和末态是同一个态。这给出周期性边界条件$q(\tau)=q(\tau+\beta)$。有了周期性边界条件,就有了离散的频率(这些频率我们后面会提到,叫做松原(Matsubara)频率),就有了离散的能谱。

拿到配分函数之后,比如说系统的基态是$E_{0}=-\lim _{\beta \rightarrow \infty} \frac{1}{\beta} \ln \operatorname{tr} e^{-\beta H}$,这都可以计算的。可以看到,经过虚时间延拓的路径积分可以让我们从我们熟悉的统计力学/热力学的角度去观察和理解很多东西。

回到求解行列式的部分。这个时候,$D=\operatorname{Det}\left[-\frac{m}{h^{2}} \frac{d^{2}}{d \tau^{2}}+V^{\prime \prime}\left(q_{c}(\tau)\right)\right]$。这个算符的解可能满足边界条件$\psi(\tau)=\psi(\tau+\beta)$,或者(当T=0时)$\psi(0)=\psi(L)=0$,其中我们已经换元$x=\frac{\hbar}{\sqrt{m}} \tau$,而$L=h \beta / \sqrt{m}$。

  • 后一种情况(Vanishing boundary,VBC)。这时本征值问题可写为$\left(-\partial^{2}+W(x)\right) \psi(x)=\lambda \psi(x)$。经过一些复分析的戏法,可以知道$\frac{\operatorname{Det}\left(-\partial^{2}+W(x)-\lambda\right)}{\psi_{\lambda}(L)}$是常量。令$\frac{\operatorname{Det}\left(-\partial^{2}+W(x)\right)}{\psi_{0}(L)}=\pi h \mathcal{N}^{2}$,则$\mathcal{N}\left[\operatorname{Det}\left(-\partial^{2}+W\right)\right]^{-1 / 2}=\left[\pi h \psi_{0}(L)\right]^{-1 / 2}$,即

    $\mathcal{Z}=\mathcal{N}\left[\operatorname{Det}\left(-\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+m \omega^{2}\right)\right]^{-1 / 2}=\left[\pi \hbar \psi_{0}(L)\right]^{-1 / 2}$。

    例如,对一维简谐振子,$\psi_{0}(x)=\frac{1}{\sqrt{m} \omega} \sinh (\sqrt{m} \omega x)$,那么算出来$E_{0}=\lim _{\beta \rightarrow \infty} \frac{-1}{\beta} \ln \mathcal{Z}=\frac{\hbar \omega}{2}$,正是我们期望的零点能。

  • 前一种情况(PBC)。这时展开为离散的频谱$q(\tau)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{i \omega_{n} \tau} q_{n}$,松原频率是$\omega_{n}=2 \pi n / \beta$。这个时候泛函微元参数化为$\mathcal{D} q[\tau]=\mathcal{N} \frac{d q_{0}}{\sqrt{2 \pi}} \prod_{n \geq 1} \frac{d \operatorname{Re} q_{n} d \operatorname{Im} q_{n}}{2 \pi}$,并且可以把对配分函数的求解转化为一系列高斯积分。略过过程,结果是

    $\mathcal{Z}=\mathcal{N} \frac{1}{\sqrt{\beta V^{\prime \prime}(0)}} \prod_{n \geq 1} \frac{1}{\frac{\beta m}{h^{2}} \omega_{n}^{2}+\beta V^{\prime \prime}(0)}=\mathcal{N}\left[\prod_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{\frac{\beta m}{h^{2}} \omega_{n}^{2}+\beta V^{\prime \prime}(0)}\right]^{1 / 2}$。

    参数$\mathcal{N}$将发散的连乘式拉回来,称之为正规化。拉回来之后,变一些数学戏法,成为

    $\mathcal{Z}=\frac{1}{2 \sinh \left(\frac{\beta \hbar}{2}\left(\frac{V^{\prime \prime}(0)}{m}\right)^{1 / 2}\right)}$。

    这正是线性振子的配分函数。

翻译成场的语言

考虑一个普通的标量场,它具有哈密顿量

$\hat{H}=\int d^{3} x\left[\frac{1}{2} \hat{\Pi}^{2}(x)+\frac{1}{2}(\nabla \hat{\phi}(x))^{2}+V(\hat{\phi}(x))\right]$

为了后续的计算方便,我们引入一个额外的项,即$\mathcal{L}_{\text {source }}=J(x) \phi(x)$,它可以认为是外力的因素。并且我们令它在时空的无穷远处为0。

这个时候,我们关心的关联函数是

$_{J}\left\langle\left\{\phi\left(\boldsymbol{x}, x_{0}\right)\right\} \mid\left\{\phi^{\prime}\left(\boldsymbol{y}, y_{0}\right)\right\}\right\rangle_{J}=\langle\{\phi(\boldsymbol{x})\}| T \exp[{-\frac{i}{\hbar}} \int_{y_{0}}^{x_{0}} d x_{0}^{\prime} \widehat{H}\left(x_{0}^{\prime}\right)]|\{{\phi}^{\prime}(\boldsymbol{y})\}\rangle$ 或者说,和前面一样地写成路径积分,并且把动量的部分积掉: ${ }_{J}\left\langle\left\{\phi\left(\boldsymbol{x}, x_{0}\right)\right\} \mid\left\{\phi^{\prime}\left(\boldsymbol{y}, y_{0}\right)\right\}\right\rangle_{J}=\mathcal{N} \int_{\mathrm{b} . \text { c. }} \mathcal{D} \phi e^{\frac{i}{\hbar} S\left(\phi, \partial_{\mu} \phi, J\right)}$

b.c.指的是边界条件。

如果我们延拓到虚时间并让演化的时间足够长,或者说,让$x_0\to-i\infty$, $y_0\to+i\infty$,那么就相当于我们在统计力学当中取零温度,这样的话,整个事情中只有基态是重要的。或者说,在时间久远的情况下,这个振幅完全相当于真空态(基态)在过完这么久之后还剩下多少(vacuum persistence amplitude)

$Z[J]\equiv{ }_{J}\langle 0 \mid 0\rangle_{J}=\mathcal{N} \lim _{T \rightarrow+i \infty} \lim _{T^{\prime} \rightarrow-i \infty} \int \mathcal{D} \phi \exp\left[{\frac{i}{\hbar}} \int_{T}^{T^{\prime}} d^{4} x\left[\mathcal{L}\left(\phi, \partial_{\mu} \phi\right)+J \phi\right]\right]$

事实上可以从(物理学家所认为的)数学上推出来这个结果。从这里看到Z[J]实际上是一个生成函数,对他求导可以算出物理量的路径积分在真空态下的期望。它在这里起到和配分函数一样的作用。特别的,它可以用来计算场的关联函数。这里就可以看到引入外部源J的好处了。例如,计算场的二点关联函数:

$\left.\frac{1}{Z[0]} \frac{\delta^{2} Z[J]}{\delta J(x) \delta J\left(x^{\prime}\right)}\right|_{J=0}=\left.\frac{1}{\langle 0 \mid 0\rangle} \frac{\delta^{2} J\langle 0 \mid 0\rangle_{J}}{\delta J(x) \delta J\left(x^{\prime}\right)}\right|_{J=0}=\left(\frac{i}{\hbar}\right)^{2}\left\langle 0\left|T\left[\phi(x) \phi\left(x^{\prime}\right)\right]\right| 0\right\rangle$

(其中$T[\hat{A}(x) \hat{B}(y)]=\theta\left(x_{0}-y_{0}\right) \hat{A}(x) \hat{B}(y)+\theta\left(y_{0}-x_{0}\right) \hat{B}(y) \hat{A}(x)$)

N点关联函数:

$\begin{aligned}\left\langle 0\left|T\left[\phi\left(x_{1}\right) \ldots \phi\left(x_{N}\right)\right]\right| 0\right\rangle &=\left.(-i \hbar)^{N} \frac{1}{\langle 0 \mid 0\rangle} \frac{\delta^{N}{ }_{J}\langle 0 \mid 0\rangle_{J}}{\delta J\left(x_{1}\right) \ldots \delta J\left(x_{N}\right)}\right|_{J=0} \\ &=\frac{1}{\langle 0 \mid 0\rangle} \int \mathcal{D} \phi \phi\left(x_{1}\right) \ldots \phi\left(x_{N}\right) \exp \left(\frac{i}{\hbar} S\left[\phi, \partial_{\mu} \phi\right]\right) \end{aligned}$

对应的,在虚时间中的配分函数是$Z^{\prime}[J]=\int \mathcal{D} \phi e^{-\int_{0}^{\beta} d \tau\left(\mathcal{L}_{E}-J \phi\right)}$,而N点的关联函数是

$\left.\frac{1}{Z^{\prime}[J]} \frac{\delta^{N} Z^{\prime}[J]}{\delta J\left(x_{1}\right) \ldots J\left(x_{N}\right)}\right|_{J=0}=\left\langle\phi\left(x_{1}\right) \ldots \phi\left(x_{N}\right)\right\rangle$。

标量场的路径积分

我们首先延拓到虚时间,得到配分函数

$\mathcal{Z}_{E}[J]=\mathcal{N} \int \mathcal{D} \phi e^{-\int d^{D} x\left[\frac{1}{2}\left(\partial_{\mu} \phi\right)^{2}+\frac{1}{2} m^{2} \phi^{2}-J \phi\right]}$。

把场记作$\phi(x)=\bar{\phi}(x)+\xi(x)$, 拉氏量变成

$\begin{aligned} \mathcal{L}_{E} &=\frac{1}{2} \phi\left[-\partial^{2}+m^{2}\right] \phi-J \phi \\ &=\frac{1}{2} \bar{\phi}\left[-\partial^{2}+m^{2}\right] \bar{\phi}-J \bar{\phi}+\frac{1}{2} \xi\left[-\partial^{2}+m^{2}\right] \xi+\xi\left[-\partial^{2}+m^{2}\right] \bar{\phi}-J \xi \end{aligned}$

这时候,$\left[-\partial^{2}+m^{2}\right] \bar{\phi}=J(x)$是我们把J从涨落中decouple出来的唯一办法。这样的话,形式上可以从格林函数$G_{0}^{E}\left(x-x^{\prime}\right)=\left\langle x\left|\frac{1}{-\partial^{2}+m^{2}}\right| x^{\prime}\right\rangle$写出$\bar{\phi}(x)=\int d^{D} x^{\prime} G_{0}^{E}\left(x-x^{\prime}\right) J\left(x^{\prime}\right)$。这样的话,我们就可以写出总的配分函数

$Z_{E}[J]=Z_{E}[0] \exp\left[{\frac{1}{2}} \int d^{D} x \int d^{D} x^{\prime} J(x) G_{0}^{E}\left(x-x^{\prime}\right) J\left(x^{\prime}\right)\right]$

涨落带来的这一部分路径积分$Z_{E}[0]=\int \mathcal{D} \xi e^{-\frac{1}{2}} \int d^{D} x \xi(x)\left[-\partial^{2}+m^{2}\right] \xi(x)$。同样,把涨落用某组本征函数展开,变成高斯积分,快进到$\left(\operatorname{Det}\left[-\partial^{2}+m^{2}\right]\right)^{-1 / 2}$这一步。注意到这个算符的解是平面波,直接一波

$\begin{aligned} \ln \operatorname{Det}\left[-\partial^{2}+m^{2}\right] &=\operatorname{Tr} \ln \left[-\partial^{2}+m^{2}\right] \\ &=\sum_{p} \ln \left(p^{2}+m^{2}\right) \\ &=V \int \frac{d^{D} p}{(2 \pi)^{D}} \ln \left(p^{2}+m^{2}\right) \end{aligned}$

这一部分路径积分的意义就是量子涨落带来的额外的影响。实际上,

$Z_{E}[0]=\lim _{\beta \rightarrow \infty} \sum_{n} e^{-\beta E_{n}} \sim e^{-\beta E_{0}}+\ldots$,

可以看到它直接对应基态的能量。

传播子$G_{E}^{(0)}\left(x-x^{\prime}\right)$。做傅里叶变换,

$G_{E}^{(0)}\left(x-x^{\prime}\right)=\int \frac{d^{D} p}{(2 \pi)^{D}} G_{0}^{E}(p) e^{i p_{\mu}\left(x_{\mu}-x_{\mu}^{\prime}\right)}$。

从格林函数的微分方程解得$G_{E}^{(0)}(p)=\frac{1}{p^{2}+m^{2}}$。代入傅里叶变换中,我们来看这个积分。首先,我们注意到$\frac{1}{A}=\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} d \alpha e^{-\frac{A}{2} \alpha}$,于是令$A=p^{2}+m^{2}$, 可得

$G_{E}^{(0)}\left(x-x^{\prime}\right)=\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} d \alpha \int \frac{d^{D} p}{(2 \pi)^{D}} e^{-\frac{\alpha}{2}\left(p^{2}+m^{2}\right)+i p_{\mu}\left(x_{\mu}-x_{\mu}^{\prime}\right)}$

做掉高斯积分的部分,

$G_{E}^{(0)}\left(x-x^{\prime}\right)=\frac{1}{2(2 \pi)^{D / 2}} \int_{0}^{\infty} d \alpha \alpha^{-D / 2} e^{-\frac{\left|x-x^{\prime}\right|^{2}}{2 \alpha}}-\frac{1}{2} m^{2} \alpha$

做些换元,利用修正贝塞尔函数的定义$K_{\nu}(z)=\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} d t t^{\nu-1} e^{-\frac{z}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right)}$,就可以知道

$G_{E}^{(0)}\left(x-x^{\prime}\right)=\frac{1}{(2 \pi)^{D / 2}}\left(\frac{m}{\left|x-x^{\prime}\right|}\right)^{\frac{D}{2}-1} K_{\frac{D}{2}-1}\left(m\left|x-x^{\prime}\right|\right)$。

它在远处表现为指数衰减。这个衰减的特征长度是康普顿波长,在热力学中则是关联长度$\xi$。在近处则表现为多项式增强。