以前我肯定会以为这是一个段子,绝不会想到“你在你母亲怀抱里就学会了Fermi’s golden rule”这种话是真实存在的。可是我却最近已听了很多遍了。
- 使用delta函数的时候要盯紧量纲。
- Sackur-Tetrode是一个半经典结果。它带着h,用着方势阱,但是没考虑玻色费米子的问题。它必须得在所有的量子态都只是sparsely occupied的时候才成立。这正是经典极限下的结果。
- Fermi’s golden rule一般称之为是用微扰论推出来的,但实际上必须用重整化才行。换句话说,远没有看上去那么简单。
- Fermi-Dirac,以及Bose-Einstein,都是单粒子的分布,Boltzmann不是。
- 箱归一化,λ=L/n,k=2πn/L。自旋使得g=2。是故:
- ∑n=∫dn=2V/8π3∫dk1dk2dk3=2⋅V/8π3⋅∫4πk2dk
- ⟨X⟩=∑fkXk=(above)⋅fkX(k),f是单粒子的分布。
- boltzmann分布是对量子态而不是对能级的分布。f(Ei)∝PiΓ(Ei),Pi服从玻尔兹曼分布,随能量减;Γ则大增。相乘,近于正态。
- 正则系综的熵的定义和微正则系综有本质区别。因为系统的能量在涨落,所以对应熵也是涨落的均值S~=⟨−logPi⟩,而Pi∼exp(−βEi)(此处下标同样是量子态,不是能级),因此S~=⟨E⟩/T+logZ。Z是矩母函数,我们想主要搞它,自然的,就定义F=⟨E⟩−TS~。
- 从微正则到正则,这个涨落并不改变热力学性质。因为ΔE∼CV1/2∼N1/2,故ΔE/⟨E⟩∼N−1/2。
- 同样的,在gibbs的话术里面,Pi=Ξe−(Ei−μNi)/kBT对应的也是系统处在特定量子态的概率。并且,巨正则熵和微正则熵在形式上也没有区别。因为在正则和巨正则系综,pi=gˉΔE1或者gˉΔEΔN1,其中gˉ是E均值附近的量子态数,ΔA是A的分布在均值附近的宽度。实际情况下随着系统变大gˉ暴增而ΔA∼N1/2,所以在算熵的时候前者占优,涨落忽略。
- gibbs在量子力学出来之前给状态数加的1/N!他自己居然呼为fudge factor。清教徒的犀利一视同仁。