2020-2-20

以前我肯定会以为这是一个段子,绝不会想到“你在你母亲怀抱里就学会了Fermi’s golden rule”这种话是真实存在的。可是我却最近已听了很多遍了。

  1. 使用delta函数的时候要盯紧量纲。
  2. Sackur-Tetrode是一个半经典结果。它带着h,用着方势阱,但是没考虑玻色费米子的问题。它必须得在所有的量子态都只是sparsely occupied的时候才成立。这正是经典极限下的结果。
  3. Fermi’s golden rule一般称之为是用微扰论推出来的,但实际上必须用重整化才行。换句话说,远没有看上去那么简单。
  4. Fermi-Dirac,以及Bose-Einstein,都是单粒子的分布,Boltzmann不是。
  5. 箱归一化,λ=L/n\lambda = L/nk=2πn/Lk=2\pi n/L。自旋使得g=2g=2。是故:
    • n=dn=2V/8π3dk1dk2dk3=2V/8π34πk2dk\sum_n = \int dn = 2V/8\pi^3\int dk_1dk_2dk_3=2\cdot V/8\pi^3\cdot\int4\pi k^2dk
    • X=fkXk=(above)fkX(k)\langle X\rangle = \sum f_kX_k = \text{(above)}\cdot f_kX(k),f是单粒子的分布。
  6. boltzmann分布是对量子态而不是对能级的分布。f(Ei)PiΓ(Ei)f\left(E_{i}\right) \propto P_{i} \Gamma\left(E_{i}\right)PiP_i服从玻尔兹曼分布,随能量减;Γ\Gamma则大增。相乘,近于正态。
  7. 正则系综的熵的定义和微正则系综有本质区别。因为系统的能量在涨落,所以对应熵也是涨落的均值S~=logPi\tilde{S}=\langle-\log P_i\rangle,而Piexp(βEi)P_i\sim\exp(-\beta E_i)(此处下标同样是量子态,不是能级),因此S~=E/T+logZ\tilde{S}=\langle E\rangle/T+\log Z。Z是矩母函数,我们想主要搞它,自然的,就定义F=ETS~F=\langle E\rangle -T\tilde{S}
  8. 从微正则到正则,这个涨落并不改变热力学性质。因为ΔECV1/2N1/2\Delta E\sim C_V^{1/2}\sim N^{1/2},故ΔE/EN1/2\Delta E/\langle E\rangle\sim N^{-1/2}
  9. 同样的,在gibbs的话术里面,Pi=e(EiμNi)/kBTΞP_{i}=\frac{e^{-\left(E_{i}-\mu N_{i}\right) / k_{B} T}}{\Xi}对应的也是系统处在特定量子态的概率。并且,巨正则熵和微正则熵在形式上也没有区别。因为在正则和巨正则系综,pi=1gˉΔEp_{i}=\frac{1}{\bar{g} \Delta E}或者1gˉΔEΔN\frac{1}{\bar{g} \Delta E \Delta N},其中gˉ\bar g是E均值附近的量子态数,ΔA\Delta A是A的分布在均值附近的宽度。实际情况下随着系统变大gˉ\bar g暴增而ΔAN1/2\Delta A\sim N^{1/2},所以在算熵的时候前者占优,涨落忽略。
  10. gibbs在量子力学出来之前给状态数加的1/N!1/N!他自己居然呼为fudge factor。清教徒的犀利一视同仁。