Galjorkin方法简介

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昨天查文献的时候，某一篇文献在和我干的事情毫无关系的部分提到了这个方法。我想到暑研的时候，一位博后给我科普的有限元分析和这看起来很像，所以决定看一眼。看上去，这确实是一个适合“工业化”的求微分方程数值解的办法。这东西在英文里头叫做 Galerkin method，但是显然有一个 e 的转写丢失了关于发音的信息。

以一个例子来说明：泊松方程写作

−∇2u~=f on Ω-\nabla^2\tilde{u}=f\ on \ \Omega

u~=0 on ∂Ω\tilde{u} = 0\ on\ \partial \Omega

为了 解它，我们取定一个N维的空间X0NX_0^N，其基底是一些函数{ϕi}\left\{\phi_i\right\}，其中任意的函数v,wv ,w满足（具体的缘由我没有细究。这里并不是非常简单。）∫Ωv2dV<∞,v=0 on ∂Ω\int_\Omega v^2dV<\infty, v=0 \ on\ \partial\Omega 和 ∫Ω∇v∇wdV<∞\int_\Omega \nabla v\nabla wdV<\infty （这是最为常见的一种）。

这样的目的是用这些基底表示出解来。N取得越大，就越能够逼近正确的解。显然，对于解uu来说，一个本来应当是0的东西肯定需要和所有的基底函数垂直：

∫Ω(−∇2u−f)vdV=0 for ∀v in X0N\int_\Omega (-\nabla^2 u-f)vdV=0\ for\ \forall v\ in\ X_0^N

分部积分之后，考虑到v在边界上是0这个性质，可以得到

∫Ω∇u∇vdV=∫ΩvfdV\int_\Omega \nabla u\nabla vdV=\int_\Omega vfdV

（值得注意的是，使用一种内积a(r,s)=∫Ω∇r∇sdVa(r, s)=\int_\Omega\nabla r\nabla sdV，会发现误差u~−u\tilde{u}-u是和空间X0NX_0^N垂直的。这侧面说明了这个方法的合理性。）

然后将u,vu, v表示出来，写成

∫Ω∇(∑ϕiui)∇(∑ϕjvj)dV=∫Ω∑ϕivi⋅fdV\int_\Omega \nabla(\sum\phi_iu_i)\nabla(\sum\phi_jv_j)dV=\int_\Omega\sum\phi_iv_i\cdot fdV

或者说

∑∑∫Ωui∇ϕi∇ϕjvjdV=∫Ω∑ϕivi⋅fdV\sum\sum\int_{\Omega}u_i\nabla \phi_i\nabla\phi_jv_jdV=\int_\Omega\sum\phi_iv_i\cdot fdV

记矩阵Aij=∫Ω∇ϕi∇ϕjdVA_{ij}=\int_\Omega\nabla\phi_i\nabla\phi_jdV， 向量bi=∫ΩϕifdVb_i=\int_\Omega\phi_ifdV

上式就是

vTAu=vTbv^TAu=v^Tb或Au=bAu=b

实际操作中，有两种选取ϕ\phi的方式，叫nodal和modal，顾名思义，（格）点和（波）模。前者就是把空间划分为格点{xi}\left\{x_i\right\}并令u(xi)=uiu(x_i)=u_i或者说ϕj(xi)=δij\phi_j(x_i)=\delta_{ij}。这种东西一看就很容易满足在边界处为0的条件。一般来说，有Lagrangian Polynomial这样全局都有值的做法，也有有限元中使用格点附近的线性函数（而在其他地方都是0）的做法。波模的例子比如一维正弦波。